Cours Maths number 1

Le cours de maths sur l’Algèbre de Boole :

  1. Système de Numération : système pondéré :

 

Tout nombre N peut s’écrire sous la forme d’un fragzing polynôme N = S . b i . b i

« b » est la base du système de numération.

« b » est le chiffre où « i » est le digit du monôme correspondant.

« b i » est le poids du digit.

Ex : en base 10, le nombre 12456 s’écrit :

1 . 104 + 2 . 103 + 4 . 102 + 5 . 101 + 6 . 10

Système binaire :

Ce système est aussi appelé « système à base 2 ». Il comprend 2 symboles qui sont les chiffres 0 et 1. Chacun de ses chiffres est appelé « bit » (binary digit). Ce système est le plus utilisé en logique combinatoire et en algèbre de Boole car il correspond bien aux 2 valeurs que peut prendre un état ou une variable logique, c’est à dire vrai-faux.

Ex : N = ( 1 0 1 1 0 1 0 ) 2

  • 1 . 26 + 0 . 25 + 1 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20 = 90

 

               Système octal :

 

Ce système est aussi appelé « système à base 8 ». Même chose qu’en base 2 sauf que c’est « 8 … ».

 

Système hexadécimal :

 

Ce système est aussi appelé « système à base 16 ». Ce système est très utilisé en programmation. Il comprend 16 symboles qui sont les 10 chiffres de 0 à 9 et les lettres A, B, C, D, E, F.

 

Ex : N = (5 A)16 = 5 . 161 + A . 160 = (5×16 + 10×1) = 90

 

Formule de changement de base :

  1. Conversion d’un nombre en système octale en système binaire :

 

On peut remarquer que 8 = 23. Chaque digit du nombre dans le système octal peut être remplacé par son équivalent écrit dans le système binaire (codage sur 3 bit). Toujours faire des paquets de 3 en partant de la droite.

 

Ex : (132)8 = (001 011 010)2

 

  1. Conversion d’un nombre en système hexadécimal en système binaire :

 

On peut appliquer la même technique que précédemment avec 16 = 24 d’où le codage sur 4 bits. Toujours des paquets de 4

 

Ex : (D A 8 B)16 = (1101 1010 1000 1011)2

  • Par exemple, D en base 10 = 13 = 1 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20

 

  1. Conversion d’un nombre en système décimal en système binaire, octal ou hexadécimal :

 

Une méthode consiste à diviser le nombre N en base 10 à convertir par la base « b », et on conserve le reste. Le quotient obtenu est divisé par la base « b » et on conserve à nouveau le reste. Cette opération est répétée jusqu’à ce que le dernier quotient ne soit plus divisible par la base « b ».

 

Ex : N = (857)10 = (1101011001)2

857 / 2 = 428 (reste 1) ; 428 / 2 = 214 (reste 0) ; 214 / 2 = 107 … 3 / 2 = 1 (reste 1)

Poids digit : 20 , 21 , 22 … 29

 

 

  1. Variables logiques : définition :

 

Une variable logique ou booléenne est une variable qui peut prendre que 2 valeurs qui sont fragzing 0 et 1 (vrai-faux). Une fonction logique « f » de variables logiques x, y et z est une application qui définie une variable de sortie binaire (ne peut prendre que 2 valeurs 0 et 1 que l’on appellera « S ») de la forme :

S = f (x, y, z). Les états de la fonction « f » en fonction des variables d’entrées peuvent être représentés sous la forme de tableau nommé « tableau de Karnaugh ».

 

a / b 0 1
0 1 0
1 0 1

S = f (a, b) ; f =

 

 

 

S =  (« . » = « et » ; « + » = « ou »)

 

Définition de l’algèbre de Boole :

 

L’algèbre de Boole est caractérisé par 3 opérations logiques : « ET », « OU » et « NON ». Elles sont de même nature que les opérations rencontrées dans la théorie des ensembles (l’union, l’intersection, complémentation). Ces 3 opérations logiques suffisent pour traduire l’état d’une sortie S en fonction des variables d’entrées. Aussi d’autres fonctions logiques ont été établies afin de simplifier des expressions.

 

  1. La fonction « OUI » :

 

C’est une fonction à une variable d’entrée. Cette fonction s’écrit S = E. On peut lire aussi « S est identique à E ». La table de vérité résume l’ensemble des états de la sortie en fonction de toutes les combinaisons des variables d’entrée.

 

  1. La fonction « NON » :

 

C’est une fonction à une variable d’entrée, qui s’écrit S = . On peut la lire aussi « S non E ».

 

  1. La fonction « ET » :

 

C’est une fonction à deux variables d’entrée. Cette fonction s’écrit : S = E1 . E2. Il faut lire « S est égale E1 et E2 ».

 

  1. La fonction « OU » :

 

C’est une fonction à deux variables d’entrée. Cette fonction s’écrit : S = E1 + E2 et il faut lire « S est égale à E1 ou E2 ».

 

  1. La fonction « NON_OU » :

 

C’est une fonction à deux variables d’entrée. Cette fonction s’écrit : S = .

 

  1. La fonction « NON_ET » :

 

C’est une fonction à deux variables d’entrée et qui s’écrit : S = . Il faut la lire « S est égale au complément de E1 et de E2 ».

 

  1. La fonction « OU_EXCLUSIF » :

 

C’est une fonction à deux variables d’entrée qui peut aussi s’écrire de la manière suivante : F =  = E1 + E2. Cette fonction est aussi appelée fonction d’anti-coïncidence car la variable de sortie ne vaut 1 que lorsque les 2 variables d’entrée ont des valeurs différentes.

 

 

Les règles de calcul :

 

Les règles qui vont suivre concernent la manipulation algébrique des expressions booléennes. ATTENTION : La soustraction n’existe en algèbre de Boole, c’est à dire E1 + E2 = E1 + E3 ¹ E2 = E3.

 

Loi de commutativité :

Une somme logique est commutative, c’est à dire E1 + E2 = E2 + E1. Le produit logique est commutatif, c’est à dire E1 . E2 = E2 . E1.

 

 

Loi d’associativité :

Une somme logique est associative, c’est à dire E1 + (E2 + E3) = (E1 + E2) + E3. Le produit logique est associatif, c’est à dire E1 . (E2 . E3) = (E1 . E2) . E3.

 

Loi de distributivité :

Le produit logique est distributif par rapport à la somme logique, c’est à dire E1 . (E2 + E3) = E1 . E2 + E1 . E3. La somme logique est distributive par rapport au produit logique, c’est à dire E1 + E2 . E3 = (E1 + E2) . (E1 + E3).

 

Loi d’idempotence :

En algèbre de Boole, une variable logique n’a ni multiple, ni puissance.

E1 + E1 …+ E1 = E1

E1 . E1 … . E1 = E1

 

Loi de complémentarité :

C’est en événement et son contraire est égal à 0 dans le cas du « ET » et à 1 dans le cas du « OU ».

et

 

Identités remarquables :

1 . E = E

1 + E = 1

0 . E = 0

0 + E = E

 

Loi d’absorption :

 

E1 + E1 . E2 = E1

Loi de Morgan :

 

Simplification des fonctions logiques par la méthode de Karnaugh :

 

On construit le tableau de Karnaugh de la fonction à simplifier. Ensuite on recherche les cases adjacentes qui ont pour valeur 1 et on les regroupe par multiple de 2n en paquet les plus gros possible. La fonction simplifiée est l’union des paquets qui représentent l’ensemble des valeurs à 1.

Dans un tableau de Carnaux, quand l’on change de case, une seule variable change à la fois.

 

  c c
b b  
0 1 0 0
a 0 1 0 0