Cours Maths number 2

Voici le cours sur la Théorie des ensembles :

  1. Généralités :
  1. Notation :

Des ensembles sont désignés par des lettres majuscules (ex : A, B, C…). L’ensemble vide se note « Æ ». Des éléments d’un ensemble sont désignés par des lettres minuscules.

Si on connaît les éléments d’un ensemble E, on note « E {1 ; 2 ; 5} » : on dit que E est explicité. Si les éléments de E vérifient une propriété P, on écrit « E = {x / P}.

 

  1. Inclusion et égalité :

Considérons E et F deux ensembles, on dit que E est inclus dans F (« E Ì F »), si et seulement si tout élément de E appartient à F.

E n’est pas inclus dans F (« E Ë F »), si et seulement si il existe au moins un élément de E qui n’appartient pas à F.

On dit que E est égale à F (« E = F »), si et seulement si E est inclus dans F (« E Ì F ») et F est inclus dans E (« F Ì E ») : on parle de double inclusion.

Soit P1 et P2 deux propriétés pouvant être vérifiées ou non par un élément de E, notons E1 l’ensemble des « x » appartenant à E qui vérifie P1, et E2 l’ensemble des « x » qui vérifie P2, alors on peut dire que :

  • Si P1 implique P2, alors E1 est inclus dans E2;
  • Si P1 est équivalent à P2, alors E1 = E2.

 

Remarque :

La phrase contraire d’une propriété P est appelée « négation de P » ou « non (P) ».

Propriété de la négation de P :

  • Non (« x quelconque » Î E, P) <=> (« il existe un x » Î E, non (P)) ;
  • Non (« il existe un x » Î E, non (P)) <=> (« x quelconque » Î E, P) ;

 

 

  1. Partie d’un ensemble fragzing et opération sur ses parties :

Un ensemble inclus dans E est appelé « sous-ensemble de E » ou « partie de E ». C’est noté P(E) = {X / X Ì E}. L’ensemble vide Æ est toujours inclus dans E.

Si E possède un élément alors P(E) possède 2n éléments. Le cardinal d’un ensemble représente le nombre d’éléments de cet ensemble « card(E) = n » et « card(P(E)) = 2n ».

 

On appelle l’intersection de A et de B l’ensemble des éléments de E qui appartiennent à A et à B (« A Ç B »). On appelle réunion de A et de B l’ensemble des éléments de E qui appartiennent à A ou à B (« A È B »).

Cas particuliers : A Ç Æ = Æ ;  A È Æ = A ;  A Ç E = A ; A È E = E.

 

Propriété : Si A Ç B = Æ, on dit que A et B sont des parties disjointes de E. Si A Ç B = Æ et A È B = E, on dit que A et B sont des parties de E.

Conséquences : A Ç B est toujours inclus dans A, A Ç B est aussi toujours inclus dans B, A est inclus dans A È B, et B est inclus dans A È B.

 

L’intersection et la réunion sont des lois commutatives, c’est-à-dire A Ç B = B Ç A et A È B = B È A. L’intersection et la réunion sont des lois associatives, c’est-à-dire A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C = A Ç B Ç C, et A È (B È C) = (A È B) È C = A È B È C

 

On appelle complémentaire de A dans E, l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A (on écrit « E \ A =  ») :  = {x Î E / x Ï A}.

Soient A et B deux parties quelconques de E, alors = Æ et = E .

,

 

  1. Le produit cartésien :

On appelle produit cartésien de E par F, l’ensemble des couples formés d’un élément de E suivi d’un élément de F. « E x E » se note E2. R2 représente l’ensemble des couples de réels. Si E et F sont différents, alors « E x F » est différent de « F x E ».

 

  1. Extension des notions précédentes :

Soit P un entier supérieur ou égale à 2 :

Soit P une partie d’un ensemble E, on appelle intersection de A1 jusqu’à Ap l’ensemble des éléments de E qui appartiennent à chacun des ensembles A1 jusqu’à Ap, noté A1 Ç A2 … Ç A= Ç Ak.

On appelle la réunion des ensembles de E qui appartiennent à l’un ou l’autre des ensembles, noté A1 È A2 … È A= È Ak.

On dit que les partie A1 jusqu’à Ap constituent une partie de E si et seulement si ces parties sont deux à deux disjointes et ont pour réunion E.

 

Produit cartésien (« Õ ») de P ensembles :

Considérons fragzing P ensemble E1, E2 … Ep, on appelle produit cartésien des ensembles E1 jusqu’à Ep, l’ensemble des P-uplets d’éléments de E1 jusqu’à Ep. On note cet ensemble « E1 x E2 x … x Ep = Õ Ek ».

 

  1. Relation dans un ensemble :

 

  1. Définition d’une relation :

Soit un ensemble E, on définit une relation dans E noté R en indiquant pour chaque couple x et y d’éléments de E à quelle condition x est en relation avec y par la relation R, on note « x R y ». On appelle graphe d’une relation R définie dans E l’ensemble des couples x et y de E2 (« E x E ») tel que « x R y », c’est-à-dire tel que x est en relation avec y par la relation R. On dit que deux éléments x et y d’un ensemble E sont comparables par une relation R définie dans E si et seulement si « x R y » ou « y R x ».

 

  1. Propriété d’une relation :

On dit que R est une relation réflexive si et seulement si tout élément de E est en relation avec lui-même (la relation « = » est réflexive, par exemple).

On dit que R est une relation symétrique si et seulement si pour tout x et y appartenant à E, si x est en relation avec y « x R y » alors y est en relation avec x « y R x ».

On dit que R est une relation transitive si et seulement si pour tous x, y et z appartenant à E, si x est en relation avec y « x R y » et si y est en relation avec z « y R z », alors x est en relation avec z « x R z » (la relation « > ou < » est transitive, par exemple).

 

On dit que R est une relation antisymétrique si et seulement si pour tout couple « x – y » d’éléments de E, si « x » est en relation avec « y » et si « y » est en relation avec « x » alors « x = y » (la relation « > ou < » est antisymétrique, par exemple ou l’inclusion).

 

Conséquences :

On dit que R est une relation d’équivalence dans E si et seulement si R est réflexive, symétrique et transitive.

On dit que R est une relation d’ordre dans E si et seulement si R est réflexive, antisymétrique et transitive.

Si R est une relation d’ordre dans un ensemble E et si tous les éléments de E sont deux à deux comparables par cette relation, on dit que R est une relation d’ordre totale.

 

  1. Cas d’un ensemble E muni d’une relation d’ordre noté R :
  2. Majorants et minorants pour la relation d’ordre R d’une partie non-vide A de E :

Soit « x » un élément de E, on dit que « x » minore la partie A pour la relation d’ordre R, ou que « x » est un minorant de A si et seulement si « x » est inférieur ou égale à tous les éléments de A. On dit que « x » majore la partie A, pour la relation d’ordre R, ou que « x » est un majorant de A si et seulement si « x » est supérieur ou égale à tous les éléments de A.

On dit que A est une partie de E minorée si et seulement s’il existe au moins un élément de E qui minore A. Il existe un élément de E qui minore A noté « m ».

On dit que A est une partie de E majorée si et seulement s’il existe au moins un élément de E qui majore A. Il existe un élément de E qui majore A noté « M ».

 

  1. Plus grand élément éventuel, plus petit élément éventuel d’une partie non-vide A de E :

On dit que A a un plus petit élément si et seulement s’il existe un élément de A qui minore A. Cet élément est unique et est appelé le plus petit élément de A, on le note « min(A) ». On dit que A a un plus grand élément si et seulement s’il existe un élément de A qui majore A. Cet élément est unique et est appelé le plus grand élément de A, on le note « max(A) ».

 

  1. Ensembles et dénombrement :

 

On dit que l’ensemble E est fini si et seulement s’il existe un entier « n » tel que E possède « n éléments », « n » est alors appelé le cardinal de E (« card(E) »). En particulier, le card(Æ) = 0.

 

  1. Partie d’un ensemble fini :

Propriétés :

  • Toutes parties A d’un ensemble fini E est elle même un ensemble fini, et vérifie que le card(A) est inférieur ou égale au card(E).
  • Une partie A de E est égale à E si et seulement si le card(A) = card(E).
  • Si A est une partie de E, alors son complémentaire est aussi une partie de E, donc card() = card(E) – card(A).
  • Soit « n » un entier naturel, soit E un ensemble fini avec « n éléments », alors P(E) est lui même un ensemble fini avec 2n éléments.

 

 

  1. Réunion d’ensembles finis :

Soient E et F deux ensembles finis disjoints (E Ç F = Æ). La réunion E È F est un ensemble fini et card(E È F)  = card(E) + card(F). Plus généralement, soit « p » un entier supérieur ou égale à 2, soient E1, E2, … Ep, « p » ensembles finis deux à deux disjoints ( = È Ek) : card(È Ek) = å card (Ek).

Conséquences :

Soit un ensemble fini E, « p » un entier inférieur ou égale à 2, soient  A1, A2, … Ap des parties de E constituant une partition de E, c’est-à-dire deux à deux disjointes et A1 È A2 … È Ap = E. A1, A2, … Ap sont finies, et le card(E) = å card(Ak) = card(A1) + card(A2) … + card(Ap).

Soient E et F deux ensembles finis quelconques, leur réunion E È F est un ensemble fini et le card(E È F) = card(E) + card(F) – card(E Ç F).

 

  1. Produit de deux ensembles finis non-vides :

Soit E un ensemble fini avec card(E) = n, soit F un ensemble fini avec card(F) = p, alors l’ensemble E x F (produit cartésien de E par F) est un ensemble fini et il contient le card(E x F) = n x p.

 

  1. Permutations, notions de factorielle :

Soit « n » un entier naturel, on appelle factorielle de « n », et on note (n !), le produit des « n » premiers entiers naturels non nuls, ainsi (n !) = 1 x 2 x 3 … x (n – 1) x n. Par convention, (0 !) = 1.

 

Propriétés :

  • (n – 1) ! x n = 1 x 2 x … x (n – 1) x n = (n !) (produit des n entiers naturels non nuls)

 

  1. Définition :

On appelle arrangement de « p » éléments de E, tout « p-uplet » (2-uplets = couples…) d’éléments de E deux à deux distincts. On appelle permutation des éléments de E, tout arrangement de « n » éléments de E.

 

  1. Formule générale :

Soit E un ensemble fini avec « n » éléments, alors on dit qu’il y a (n !) permutations possibles des éléments de E.

 

  1. Partie à « p » éléments d’un ensemble fini non-vide E de cardinal « n » (on dira aussi combinaison à « p » éléments de E) :
  2. Cas particuliers :

« p » et « n » sont des entiers naturels non-nuls. Si « p » est supérieur à « n », il y a 0 parties de E avec « p » éléments. Si p = 0, il y a 1 partie de E avec 0 élément, c’est-à-dire c’est Æ. Si n = 1, il y a « n » parties de E avec un élément.

 

  1. Cas général :

Soit E un ensemble avec « n » éléments, on dénombre les parties à « p » éléments de E avec 0 £ p £ n. On va démontrer les sous parties à « p » éléments de E, la formule, il y a  , sous ensemble de « p » éléments de E. On note ce nombre de manière Cpn ou Cnp et on dit « p parmi n ». C’est le nombre de parties à « p » éléments d’un ensemble à « n » éléments dans un ensemble à « n » éléments.

Exemple :

Cn2 = (  ) c’est un 2 dans un « n » éléments. Si n = 30, C302 représente le nombre de duos possibles qu’on peut constituer dans un groupe de 30 personnes.

C302  =    =    =

 

Il reste donc  = 29 x 15 = 435. Il y a donc 435 duos possibles dans un groupe de 30 personnes.

 

  1. Propriétés :

Formule du binôme de Newton : pour deux réels « a » et « b » quelconques, et pour un entier naturel « n » quelconque, (a + b) n = ånk=0  Ckn  ak  bn-k.

 

Exemple : (3 + 4)3 = å3k=0 Ck3 3k 43-k

= C03 30 43 + C13 31 43-1 + C23 32 43-2 + C33 33 43-3

= 43 + 3 x 3 x 42 + 3 x 32 x 4 + 1 x 33 x 40

= 64 + 144 + 108 + 27

= 343

 

 

Pour un entier naturel non nul « n », et pour un entier naturel « p » appartenant à [0, n], Cpn = Cn-pn et Cpn = Cpn-1 + Cp-1n-1.

Pour deux entiers naturels « n » et « p », Cp+1n+1 = Cpn + Cp+1n , p x Cpn = n x Cp-1n-1.

 

  1. Triangle de Pascal :

Il s’agit du tableau où figure en 1ère ligne les nombres C01, C11, puis en 2ème ligne les nombres C02, C12, C22, en 3ème ligne les nombres C03, C13 etc… Le tableau permet d’obtenir les coefficients du binôme de Newton.

 

P = 0 P = 1 P = 2 P = 3 P = 4 P = 5
N = 1 1 1
N = 2 1 2 1
N = 3 1 3 3 1
N = 4 1 4 6 4 1
N = 5 1 5 10 10 5 1

 

Exemple : Développer (a + b)4

(a + b)4 = å4k=0 Ckn ak bn-k

= a4 + 4 a3 b1 + 6 a2 b2

= 4 a1 b3 + b4

 

(a – b)4 = (a + (-b))4

= a4 x (-b)0 + C14 a3 x (-b)1 + C24 a2 x (-b)2 + C34 a1 x (-b)3 + C34 a0 x (-b)4

= a4 – 4 a3 b + 6 a2 b2 – 4 a b2 + 1 x b4

Dans ce cas, il y a alternance de signes.

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